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学机器学习怎么可以不知道最小二乘法

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起源

起源:最小二乘法源于天文学和大地测量学领域。可能这从前领域对精度的高要求而被创造创造发明。

1501年,意大利天文学家朱塞普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。进行了40天的跟踪观测后,但可能谷神星运行到太阳身前,被抛弃了具体位置信息。过后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开使英文寻找谷神星,而且根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都这样结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的辦法 发表于1509年他的著作《天体运动论》中,这人高斯正是著名数学家 卡尔·弗里德里希·高斯 ,没错就是我我有些人大学得认识的那个高斯。

机器学习本质实在就是我我求最优解的过程,最小二乘法是回归算法中求最优解的辦法 之一,还有从前是梯度下降法,以时会讲~。

思考

有些人在正式讲最小二乘法以前,读者大大们时会 想下下面这人问提报告 临近中秋,小明愿意被委托人做月饼,现在已知一种规格月饼所需的面粉重量如下:

月饼重量(g)面粉重量(g)
50 20
50 81
50 110
190 90
220 150

现在小明想做规格为140g的月饼,请问他须要哪好多个克月饼现在读者大大们根据平时经验,时会 思考下为甚会么会求。九年义务教育我想看见这人题目就条件反射列方程求未知数,我就是我我知道读者大大们是就有也是从前~

原理

有些人从从前厚度来看这人问提报告 有些人将这还还有一个月饼用坐标系标出来,如下图 而且有些人先用画出一根 接近这还还有一个点的线,假设线性关系为

是就有而且我有些人找出一根 最接近这还还有一个点的线就时会 了,从前算出来的值是最接近真实值的。

由图时会 得出,须要这条线跟这人还还有一个点的误差最小, 每个点跟线的误差如下所示

可能误差是长度,统统要算绝对值,计算起来不方便,用平方来替代

最后将所有误差值累加得出

最小二乘法呼之欲出,这就是我我最小二乘法的原理了,即让误差的平方总和尽可能小。从求一根 最接近这还还有一个点的线的问提报告 转化成求最小化误差的问提报告 。

求解

这样为甚会么会求呢,继续以上端的为例子。这是从前二次函数。总误差的平方:

根据多元微积分,当

这人以前 ϵ 取得最小值,求的a,b的解为

a,b求出后,这条最接近的线也就出来了

进一步现在假设这条线是 二次函数,结果怎么可否

有些人时会 选则不同的 f(x),根据最小二乘法得出不一样的拟合函数。不过选则f(x)还是时会 了太随意,不然要么不准,要么容易过拟合。代码实现整个思路如下

目标函数:代入生成的x,生成对应的y

def real_func(x):
  return np.sin(2*np.pi*x)

随机生成10个x进行实验:

x = np.linspace(0, 1, 10)

构造多项式拟合函数:

#多项式
def fit_func(p,x):
    """
    eg:p = np.poly1d([2,3,5,7])

   print(p)==>>2x3 + 3x2 + 5x + 7
    """
    f = np.poly1d(p)
    return f(x)

计算误差:

#残差
def residuals_func(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    return ret

leastsq 是 scipy 库 进行最小二乘法计算的函数,也就是我我通过误差函数以及数据点进行有些人前面讲的对参数进行求导操作,最后得出有些人拟合出来的函数。

def fitting(M=0):
    """
    n 为 多项式的次数
    """    
    # 随机初始化多项式参数
    #numpy.random.rand(d0)的随机样本指在[0, 1)之间。d0表示返回哪好多个个
    p_init = np.random.rand(M+1) #生成M+从前随机数的列表
    # 最小二乘法
    p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y)) # 从前参数:误差函数、函数参数列表、数据点
    print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
    
    # 可视化
    plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
    plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    return p_lsq
    
    # M=0
    p_lsq = fitting(M=0)

有些人从一次函数依次增加项式,找到最共要的拟合曲线。



到9次的以前,可能完整性拟合哪哪好多个点了 。

总结

有些人时会 看出,最小二乘法的原理实在非常简单,运用起来也简洁,应用广泛。而且它就有一定的局限性,比怎么可否拟合函数就有线性的,就无法用最小二乘法了。还有有些,本文讲的最小二乘法是最简洁的,而且它对噪声的容忍度很低,容易造成过拟合,统统还须要再加正则化,这人有兴趣的读者时会 了解下。最小二乘法运用误差厚度求最优解的思路是有些人机器学习中从前很经典也很常用的思维方向之一,为学习机器学习打下从前好基础。这也是把它放进有些人的机器学习系列最开使英文的意味着着。

ps:须要完整性代码,关注公众号,回复‘最小二乘法’获得~

本文首发微信公众号“哈尔的数据城堡”.